哈尔滨冰雪大世界今年首次推出原创旅游纪念品

百度 2018年1月6日6时许，小陈起床后发现儿子身体异常躺倒在西卧室地上，拨打120急救电话。

Закон електромагн?тно? ?ндукц?? Фарадея ? основним законом електродинам?ки, що стосуються принцип?в роботи трансформатор?в, дроссел?в, багатьох вид?в електродвигун?в ? генератор?в. Закон говорить:

Для будь-якого замкнутого контуру ?ндукована електроруш?йна сила (ЕРС) дор?вню? швидкост? зм?ни магн?тного потоку, що проходить через ц?лий контур, взятого з? знаком "м?нус".

або ?ншими словами:

Генерована ЕРС пропорц?йна швидкост? зм?ни магн?тного потоку.

?стор?я

Електромагн?тна ?ндукц?я була виявлена незалежно один в?д одного Майклом Фараде?м ? Джозефом Генр? у 1831 роц?, проте Фарадей першим опубл?кував результати сво?х експеримент?в.

У перш?й експериментальн?й демонстрац?? електромагн?тно? ?ндукц?? (серпень 1831) Фарадей обмотав двома проводами протилежн? сторони зал?зного тора (конструкц?я схожа на сучасний трансформатор). ?рунтуючись на сво?й оц?нц? недавно виявленого властивост? електромагн?та, в?н оч?кував, що при включенн? струму в одному провод? особливого роду хвиля пройде кр?зь тор ? викличе деякий електричний вплив на його протилежний б?к. В?н п?дключив один пров?д до гальванометр у ? дивився на нього, коли ?нший пров?д п?дключав до батаре?. Справд?, в?н побачив короткочасний сплеск струму (який в?н назвав ?хвилею електрики?), коли п?дключав пров?д до батаре?, ? другий такий же сплеск, коли в?дключав його. Протягом двох м?сяц?в Фарадей знайшов к?лька ?нших прояв?в електромагн?тно? ?ндукц??. Наприклад, в?н побачив сплески струму, коли швидко вставляв магн?т в котушку ? витягав його назад, в?н генерував пост?йний струм в обертовому поблизу магн?ту м?дному диску з ковзаючим електричним дротом (?диск Фарадея?).

Диск Фарадея

Фарадей пояснив електромагн?тну ?ндукц?ю з використанням концепц?? так званих силових л?н?й. Однак, б?льш?сть вчених того часу в?дхилили його теоретичн? ?де?, в основному тому, що вони не були сформульован? математично. Виняток склав Максвелл, який використовував ?де? Фарадея як основу для сво?? к?льк?сно? електромагн?тно? теор??. в роботах Максвелла аспект зм?ни в час? електромагн?тно? ?ндукц?? виражений у вигляд? диференц?альних р?внянь. Ол?вер Хев?сайд назвав це законом Фарадея, хоча в?н дещо в?др?зня?ться за формою в?д первинного вар?анту закону Фарадея ? не врахову? ?ндукування ЕРС при рус?. Верс?я Хевисайда ? формою визнано? сьогодн? групи р?внянь, в?домих як р?вняння Максвелла.

Ем?л?й Христ?анович Ленц сформулював в 1834 роц? закон (правило Ленца), який опису? ?пот?к через ланцюг? ? да? напрямок ?ндуковано? ЕРС ? струму в результат? електромагн?тно? ?ндукц??.

Експеримент Фарадея, що показу? ?ндукц?ю м?ж витками дроту: р?динна батарея (справа) да? струм, який прот?ка? через невелику котушку (A) "", створюючи магн?тне поле. Коли котушки нерухом?, струм не ?ндуку?ться. Але коли маленька котушка вставля?ться або вилучають ?з великою котушки (B) "", магн?тний пот?к через котушку зм?ню?ться, викликаючи струм, який ре?стру?ться гальванометром (G) .

Закон Фарадея як два р?зних явища

Деяк? ф?зики в?дзначають, що закон Фарадея в одному р?внянн? опису? два р?зних явища: 'рухову ЕРС' , генеровану д??ю магн?тно? сили на рухомий пров?д, ? 'трансформаторну ЕРС' , генеровану д??ю електрично? сили внасл?док зм?ни магн?тного поля. Джеймс Клерк Максвелл звернув увагу на цей факт у сво?й робот? Про ф?зичн? силов? л?н?? в 1861 роц?. У друг?й половин? частини II ц??? прац? Максвелл да? окреме ф?зичне пояснення для кожного з цих двох явищ. Посилання на ц? два аспекти електромагн?тно? ?ндукц?? ма?ться на деяких сучасних п?дручниках. Як пише Р?чард Фейнман:

Таким чином, ?правило потоку? про те, що ЕРС в ланцюз? дор?вню? швидкост? зм?ни магн?тного потоку через контур, застосову?ться незалежно в?д причини зм?ни потоку: чи то тому що поле зм?ню?ться, чи то тому що ланцюг руха?ться (або ? те, ? ?нше)... В нашому поясненн? правила ми використовували два абсолютно р?зних закону для двох випадк?в - ${\stackrel {\mathbf {v\times B} }{}}$ для ?рухомого ланцюга? ? ${\stackrel {\mathbf {\nabla \ x\ E\ =\ -\partial _{\ t}B} }{}}$ для ?м?нливого поля?.

Ми не зна?мо н?якого аналог?чного положення у ф?зиц?, коли так? прост? ? точн? загальн? принципи вимагали б для свого реального розум?ння анал?зу з точки зору двох р?зних явищ.

— 'Р?чард Фейнман' , Фейнмановськ? лекц?? з ф?зики

В?дображення ц??? очевидно? дихотом?? було одним з основних шлях?в, як? привели Ейнштейна до розробки спец?ально? теор?? в?дносност?:

В?домо, що електродинам?ка Максвелла - як ?? зазвичай розум?ють нин? - при застосуванн? до рухомих т?л призводить до асиметр??, яка, як зда?ться, не притаманна цьому явищу. В?зьмемо, прим?ром, електродинам?чне вза?мод?я магн?ту ? пров?дника. Спостережуване явище залежить т?льки в?д в?дносного руху пров?дника ? магн?ту, тод? як звичайне думка малю? велика в?дм?нн?сть м?ж цими двома випадками, в яких або одне, або ?нше т?ло знаходиться в рус?. Бо, якщо магн?т знаходиться в рус?, а пров?дник спочива?, в околиц? магн?ту виника? електричне поле з певною щ?льн?стю енерг??, створюючи струм там, де розташований пров?дник. Але якщо магн?т поко?ться, а пров?дник руха?ться, то в околиц? магн?ту н?яке електричне поле не виника?. У пров?днику, проте, ми знаходимо електроруш?йну силу, для яко? не ?сну? в?дпов?дно? енерг?? само? по соб?, але яка виклика? - припускаючи р?вн?сть в?дносного руху в двох обговорюваних випадках - електричн? струми по тому ж напрямку ? т?й же ?нтенсивност?, як у першому випадку.

Приклади под?бного роду разом з невдалою спробою виявити який-небудь рух Земл? щодо ?св?тлоносного середовища? припускають, що явища електродинам?ки, а також механ?ки не волод?ють властивостями, в?дпов?дними ?де? абсолютного спокою.

— 'Альберт Ейнштейн' , До електродинам?ки рухомих т?л

Пот?к через поверхню ? ЕРС в контур?

Визначення поверхневого ?нтеграла припуска?, що поверхня Σ под?лена на др?бн? елементи. Кожен елемент пов'язаний з вектором d 'A' , величина якого дор?вню? площ? елемента, а напрям — по нормал? до елемента у зовн?шню сторону.

Векторне поле 'F' ( 'r' , t ) визначено у всьому простор?, а поверхню Σ обмежена кривою ?Σ, що руха?ться з? швидк?стю 'v' . З ц??? поверхн? виробля?ться ?нтегрування поля.

Закон електромагн?тно? ?ндукц?? Фарадея використову? поняття магн?тного потоку Φ _B через замкнуту поверхню Σ, який визначений через поверхневий ?нтеграл:

$\Phi _{B}=\iint \limits _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} ,$

де d A — площа елемента поверхн? Σ ( t ), B — магн?тне поле, а B · d A - скалярний добутокB?d A. Передбача?ться, що поверхня ма? ?гирло?, окреслено? замкнуто? криво?, позначено? ?Σ ( t ). Закон ?ндукц?? Фарадея стверджу?, що коли пот?к зм?ню?ться, то при перем?щенн? одиничного позитивного пробного заряду по замкнут?й крив?й ?Σ в?дбува?ться робота ${\mathcal {E}}$, величина яко? визнача?ться за формулою:

$|{\mathcal {E}}|=\left|{{d\Phi _{B}} \over dt}\right|,$

де $|{\mathcal {E}}|$ — величина електроруш?йно? сили (ЕРС) в вольтах, а Φ _B  — магн?тний пот?к в веберах. Напрямок електроруш?йно? сили визнача?ться законом Ленца.

Для щ?льно намотаною котушки ?ндуктивност?, яка м?стить N витк?в, кожен з однаковим магн?тним потоком Φ _B , закон ?ндукц?? Фарадея стверджу?, що:

$|{\mathcal {E}}|=N\left|{{d\Phi _{B}} \over dt}\right|$

де N — число витк?в проводу, Φ _B  — магн?тний пот?к в веберах на один виток.

При вибор? шляху ?Σ ( t ) для знаходження ЕРС зауважимо, що шлях повинен задовольняти двом основним вимогам: (i) шлях повинен бути замкнутим, ? (ii) шлях повинен охоплювати в?дносний рух частин контуру (джерело походження t -залежност? в ?Σ ( t )). До вимог не в?дноситься те, що шлях повинен зб?гатися з л?н??ю струму, але, звичайно, ЕРС, яка знаходиться за законом потоку, вважатиметься обраним шляхом. Якщо шлях не зб?га?ться з л?н??ю струму, то п?драхована ЕРС, можливо, буде не та ЕРС, яка виклика? струм.

Приклад 1: просторово м?нливе магн?тне поле

Мал. 3. Замкнутий прямокутний пров?д руха?ться уздовж ос? x з? швидк?стю 'v' в магн?тному пол?, яке зм?ню?ться в уздовж x .

Розглянемо випадок на малюнку 3, на якому прямокутна замкнута дротова петля, розташована в площин? xy , перем?щу?ться в напрямку ос? x з? швидк?стю v . Центр петл? x _C задовольня? умов? v = dx _C / dt . Петля ма? довжину ? в напрямку ос? y ? ширину w в напрямку ос? x . Залежне в?д часу просторово м?нливий магн?тне поле B ( x ) показано в напрямку z . Магн?тне поле на л?в?й сторон? одно B ( x _C  — w / 2 ), а на прав?й сторон? B ( x _C + w / 2 ). Електроруш?йну силу можна знайти або за допомогою закону Лоренца, або, що екв?валентно, використовуючи вищевикладений закон ?ндукц?? Фарадея.

Закон Лоренца

Заряд q в пров?днику на л?в?й сторон? петл? випробову? силу Лоренца q v × B k = -qv B (x _C  — w / 2) j ( j, k - одиничн? вектори в напрямках y ? z; див. векторний добуток вектор?в), що виклика? ЕРС (роботу на одиницю заряду) v ? B (x _C  — w / 2) по вс?й довжин? л?вого боку петл?. На прав?й сторон? петл? аналог?чне м?ркування показу?, що ЕРС дор?вню? v ? B (x _C + w / 2) . Дв? протилежн? одна одн?й ЕРС штовхають позитивний заряд у напрямку до нижньо? частини петл?. У раз?, коли поле B зроста? вздовж х, сила на прав?й сторон? буде б?льше, а струм буде текти за годинниковою стр?лкою. Використовуючи правило право? руки, ми отриму?мо, що поле B, створюване струмом, протилежне прикладеному полю. ЕРС, що виклика? струм, повинна зб?льшуватися по напрямку проти годинниково? стр?лки (на в?дм?ну в?д струму). Складаючи ЕРС в напрямку проти годинниково? стр?лки вздовж петл? ми знаходимо:

${\mathcal {E}}=v\ell [B(x_{C}+w/2)-B(x_{C}-w/2)].$

Закон Фарадея

У будь-як?й точц? петл? магн?тний пот?к через не? дор?вню?:

$\Phi _{B}=\pm \int _{0}^{\ell }dy\int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}B(x)dx$

$=\pm \ell \int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}B(x)dx.$

Виб?р знака визнача?ться за принципом, чи ма? нормаль до поверхн? в дан?й точц? той же напрям, що ? 'B' , або протилежне. Якщо нормаль до поверхн? ма? той же напрям, що ? поле B наведеного струму, цей знак негативний. Пох?дна за часом в?д потоку (знайдена за допомогою метод?в диференц?ювання складно? функц?? або по правилу Лейбн?ца диференц?ювання ?нтеграла) дор?вню?:

${\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=(-){\frac {d}{dx_{C}}}\left[\int _{0}^{\ell }dy\ \int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}dxB(x)\right]{\frac {dx_{C}}{dt}},$

$=(-)v\ell [B(x_{C}+w/2)-B(x_{C}-w/2)],$

(де v=dx _C / dt ? швидк?стю руху петл? в напрямку ос? х), що призводить до:

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=v\ell [B(x_{C}+w/2)-B(x_{C}-w/2)]\,$

як ? в попередньому випадку.

Екв?валентн?сть цих двох п?дход?в ? загальнов?домою, ? залежно в?д розв'язувано? задач? б?льш практичним може виявитися або той, або ?нший метод.

Приклад 2: петля, рухома в пост?йному магн?тному пол?

Рис. 4. Замкнуте прямокутний пров?д оберта?ться з кутовий швидк?стю ω в рад?альному, направленому назовн? магн?тному пол? 'B' ф?ксовано? величини. Струм зн?ма?ться щ?тками, що стосуються верхнього ? нижнього диск?в з пров?дними ободами.

На рис. 4 показаний шпиндель, утворений двома дисками з як? проводять ободами, ? пров?дна петля, розташована вертикально м?ж цими ободами. Ця конструкц?я оберта?ться в магн?тному пол?, яке спрямоване рад?ально назовн? ? ма? одне ? те ж значення в будь-якому напрямку. Рад?ально ор??нтований колекторний зворотний контур на к?нцях петл? зн?ма? струм з пров?дних поверхонь обод?в. Розташування колекторного зворотного контуру по в?дношенню до поля 'B' таке, що поле ма? напрямок у площин? цього колекторного контуру, тому сам в?н не вносить н?якого додаткового потоку в ланцюг. Електроруш?йну силу можна знайти безпосередньо за допомогою вищевикладеного закону Фарадея.

Закон Лоренца

В цьому випадку сила Лоренца виклика? спрямований вниз струм в двох вертикальних плечах петл?, тобто струм тече в?д верхнього диска до нижнього. У пров?дних ободах диска сила Лоренца перпендикулярна ободу, тому н?яко? ЕРС в ободах не генеру?ться, також як ? в горизонтальн?й частин? рухомо? петл?. Струм переда?ться в?д нижнього обода до верхнього через зовн?шн?й зворотний контур, який ор??нтований в площин? поля 'B' . Таким чином, сила Лоренца в зворотн?й зашморгу перпендикулярна до петл?, ? ЕРС в н?й не генеру?ться. Обходячи шлях у напрямку, протилежному напрямку струму, ми знаходимо, що робота проти сили Лоренца проводиться т?льки у вертикальному плеч? рухом?й петл?, ? вона дор?вню?:

$F=qBv,$

де v = швидкост? рухомого заряду

Отже, ЕРС

${\mathcal {E}}=Bv\ell =Br\ell \omega ,$

де v = швидкост? пров?дника або магн?ту , а l = вертикально? довжин? петл?. В цьому випадку швидк?сть пов'язана з кутовою швидк?стю обертання v = r ω, де r = рад?усу цил?ндра. Зверн?ть увагу, що така ж робота викону?ться по будь-якому шляху, який оберта?ться разом з петлею ? з'?дну? верхн?й ? нижн?й ободи.

Закон Фарадея

?нту?тивно привабливий, але хибний п?дх?д до використання правила потоку виража? пот?к через ланцюг за формулою Φ _B = B w ?, де w  — ширина рухом?й петл?. Це вираз не залежить в?д часу, тому з цього неправильно виплива?, що н?яко? ЕРС не генеру?ться. Помилка цього твердження поляга? в тому, що в ньому не врахову?ться весь шлях струму через замкнуту петлю.

Для правильного використання правила потоку ми повинн? розглянути весь шлях струму, який включа? в себе шлях через ободи на верхньому ? нижньому дисках. Ми можемо вибрати дов?льний замкнутий шлях через ободи ? обертову петлю, ? за законом потоку знайти ЕРС цим шляхом. Будь-який шлях, який включа? сегмент, прилеглий до обертово? зашморгу, врахову? в?дносний рух частин ланцюга.

Як приклад розглянемо шлях, що проходить у верхн?й частин? ланцюга в напрямку обертання верхнього диска, а в нижн?й частин? ланцюга — в протилежному напрямку по в?дношенню до нижнього диску (показано стр?лками на рис. 4). В цьому випадку якщо оберта?ться петля в?дхилилася на кут θ в?д колекторно? петл?, то ?? можна розглядати як частину цил?ндра площею A = r ? θ. Ця площа перпендикулярна полю 'B' , ? що вноситься нею внесок у пот?к дор?вню?:

$\Phi _{B}=-Br\theta \ell ,$

де знак ? негативним, бо за правилом право? руки поле B, що генеру?ться петлею з? струмом, протилежне за напрямком прикладеному полю B . Оск?льки це т?льки залежна в?д часу частина потоку, за законом потоку ЕРС дор?вню?:

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=Br\ell {\frac {d\theta }{dt}}$

$=Br\ell \omega ,$

зг?дно формули закону Лоренца.

Тепер розглянемо ?нший шлях, в якому прох?д по об?д диска виберемо через протилежн? сегменти. В цьому випадку пов'язаний пот?к буде зменшуватися при зб?льшенн? θ, але за правилом право? руки струмова петля дода? прикладена поле B, тому ЕРС для цього шляху буде точно таке ж значення, як ? для першого шляху. Будь зм?шаний поворотний шлях приводить до такого ж результату для значення ЕРС, так що це насправд? не ма? значення, який шлях обрати.

Пряма оц?нка зм?ни потоку

Мал. 5. Спрощена верс?я рис. 4. Петля ковза? з? швидк?стю 'v' в стац?онарному однор?дному пол? 'B' .

Використання замкнутого шляху для обчислення ЕРС, як це зроблено вище, залежить в?д детально? геометр?? шляху. На в?дм?ну в?д цього, використання закону Лоренца не залежить в?д таких обмежень. Нижченаведене розгляд призначено для кращого розум?ння екв?валентност? шлях?в ? дозволить уникнути з'ясування деталей обраного шляху при використанн? закону потоку.

Рис.5 ? ?деал?зац??ю малюнка 4, тут зображена про?кц?я цил?ндра на площину. Д?йсний той самий анал?з по зв'язаному шляху, але зроблен? деяк? спрощення. Не залежн? в?д часу детал? ланцюга не можуть впливати на швидк?сть зм?ни потоку. Наприклад, при пост?йн?й швидкост? ковзання петл?, прот?кання струму через петлю не залежить в?д часу. зам?сть того, щоб при обчисленнях ЕРС розглядати детал? обраного замкнутого контуру, можна зосередитися на област? поля 'B' , зам?тають рухом?й петлей. Предложен?е зводиться до знаходження швидкост?, з якою пот?к перетина? ланцюг. Це поняття забезпечу? пряму оц?нку швидкост? зм?ни потоку, що дозволя? не замислюватися про б?льш залежних в?д часу деталях р?зних вар?ант?в шляху по цеп?. Так ж, як при застосуванн? закону Лоренца, ста? ясно, що два будь шляху, пов'язаних з ковзаючою петлею, але в?др?зняються тим, яким чином вони перетинають петлю, створюють пот?к з такою ж швидк?стю його зм?ни.

На рис.5 область зам?тання в одиницю часу дор?вню? dA / dt = v ?, незалежно в?д деталей обраного замкнутого шляху, так що за законом ?ндукц?? Фарадея ЕРС дор?вню?:

${\mathcal {E}}={{d\Phi _{B}} \over dt}=Bv\ell \ .$

Цей шлях незалежно? ЕРС показу?, що якщо зм?нна петля зам?нена твердо? пров?дно? пластиною або нав?ть деяко? складно? викривлено? поверхнею, анал?з буде такою ж: знайти пот?к в зам?та? област? рухом? частини ланцюга. Аналог?чним чином, якщо ковзна петля в барабан? генератора на рис. 4 зам?ню?ться на твердий пров?дний цил?ндр, розрахунок зам?та? площ? робиться точно так же, як ? у випадку з простою петлею. Тобто ЕРС, обчислена за законом Фарадея, буде точно така ж, як у випадку цил?ндра з твердими пров?дними ст?нками, або, якщо хочете, цил?ндра ?з ст?нками з тертого сиру. Зауважимо, однак, що струм, що прот?ка? в результат? ц??? ЕРС, не буде точно таким же, тому що струм залежить ще в?д опору ланцюга.

Р?вняння Фарадея — Максвелла

Мал. 6. ?люстрац?я теореми Кельв?на-Стокса за допомогою поверхн? Σ, ?? кордони ?Σ ? ор??нтац?? n, встановлено? правилом право? руки.

Зм?нне магн?тне поле створю? електричне поле, що опису?ться р?внянням Фарадея — Максвелла:

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

де:

$\nabla \times$ познача? ротор

E — електричне поле

B — щ?льн?сть магн?тного потоку.

Це р?вняння присутн?й в сучасн?й систем? р?внянь Максвелла, часто його називають законом Фарадея. Однак, оск?льки воно м?стить т?льки частинн? пох?дн? за часом, його застосування обмежене ситуац?ями, коли заряд поко?ться в зм?нному за часом магн?тному пол?. Воно не врахову? електромагн?тну ?ндукц?ю у випадках, коли заряджена частинка руха?ться в магн?тному пол?.

В ?ншому вигляд? закон Фарадея може бути записаний через ?нтегральну форму теореми Кельв?на-Стокса:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\partial \over {\partial t}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$

Для виконання ?нтегрування потр?бно незалежна в?д часу поверхню Σ (розглянута в даному контекст? як частина ?нтерпретац?? частинних пох?дних). Як показано на рис. 6:

Σ — поверхня, обмежена замкнутим контуром ?Σ, причому, як Σ, так ? ?Σ ? ф?ксованими, не залежними в?д часу,

E — електричне поле,

D ? — неск?нченно малий елемент контуру ?Σ,

B — магн?тне поле,

D A — неск?нченно малий елемент вектора поверхн? Σ.

Елементи d ? ? d A мають невизначен? знаки. Щоб встановити правильн? знаки, використову?ться правило право? руки, як описано в статт? про теорем? Кельв?на-Стокса. Для плоско? поверхн? Σ позитивний напрямок елемента шляху d ? криво? ?Σ визнача?ться правилом право? руки, за яким на цей напрям вказують чотири пальц? право? руки, коли великий палець вказу? в напрямку нормал? n до поверхн? Σ.

?нтеграл по ?Σ назива?ться ?нтеграл по шляху або кривол?н?йним ?нтегралом . Поверхневий ?нтеграл в прав?й частин? р?вняння Фарадея-Максвелла ? явним виразом для магн?тного потоку Φ _B через Σ. Зверн?ть увагу, що ненульовий ?нтеграл по шляху для E в?др?зня?ться в?д повед?нки електричного поля, створюваного зарядами. Генероване зарядом E — поле може бути виражено як град??нт скалярного поля, яке ? р?шенням р?вняння Пуассона ? ма? нульовий ?нтеграл по шляху.

?нтегральне р?вняння справедливо для будь-якого шляху ?Σ в простор? ? будь-як?й поверхн? Σ, для яко? цей шлях ? кордоном. <! — Однак сл?д зазначити, що в ц?й формул? ?Σ ? Σ розум?ються як не залежними в?д часу. Ця ?нтегральна форма не може ставитися до рухово? ЕРС, бо Σ не залежить в?д часу. Зверн?ть також увагу, що це р?вняння не ма? посилання на ЕРС ${\overset {\mathcal {E}}{}}$, & thinsp, та й не може ?? мати без введення сили Лоренца, що дозволя? провести обчислення роботи.- ->

Мал. 7. Площа зам?тання елемента вектора d ? криво? ?Σ за час dt при рус? з? швидк?стю v.

Використовуючи повну силу Лоренца для розрахунку ЕРС,

${\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v\times B} (\mathbf {r} ,t)\right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }},$

заяву закон ?ндукц?? Фарадея б?льш загальним, н?ж ?нтегральна форма р?внянь Максвелла-Фарадея р?вняння (див. Лоренца сила): a statement of Faraday's law of induction more general than the integral form of the Maxwell-Faraday equation is (see Lorentz force):

$\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v\times B} (\mathbf {r} ,t)\right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\$ $\ =-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}d{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,$

де ? Σ (T) ? замкнутою тра?ктор?? перем?щення обмежу? рухомо? поверхн? Σ (T), а V-швидк?сть руху. Див. Рисунок 2. Зверн?ть увагу, що звичайна пох?дна за часом використову?ться, а не часткова пох?дна часу, що означа? зм?ну в час? Σ (T) повинн? бути включен? в диференц?ац??. В п?д?нтегральний елемент крива г ? руха?ться з? швидк?стю v. Використовуючи

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{A}{\mathbf {B} }{\text{ d}}\mathbf {A} =\int \limits _{A}{\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {v} \ {\text{div}}\ \mathbf {B} +{\text{curl}}\;(\mathbf {B} \times \mathbf {v} )\right)\;{\text{d}}}\mathbf {A}$

? враховуючи ${\text{div}}\mathbf {B} =0$ (Ряд Гаусса), $\mathbf {B} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B}$ ? беручи до уваги ${\text{div}}\mathbf {B} =0$ (Ряд Гаусса), $\mathbf {B} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B}$ (Векторний добуток) ? $\int _{A}{\text{curl}}\;\mathbf {X} \;\mathrm {d} \mathbf {A} =\oint _{\partial A}\mathbf {X} \;{\text{d}}{\boldsymbol {\ell }}$ (теорема Кельв?на — Стокса), ми знаходимо, що повна пох?дна магн?тного потоку може бути виражена

$\int \limits _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}{\textrm {d}}\mathbf {A} ={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\Sigma }{\mathbf {B} }{\text{d}}\mathbf {A} +\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,{\text{d}}{\boldsymbol {\ell }}$

Додаючи член $\oint \mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \mathbf {\ell }$ до обох частин р?вняння Фарадея-Максвелла ? вводячи вищенаведене р?вняння, ми отриму?мо:

$\oint \limits _{\partial \Sigma }{(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}{\text{d}}\ell =\underbrace {-\int \limits _{\Sigma }{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} {\text{d}}\mathbf {A} } _{{\text{induced}}\ {\text{emf}}}+\underbrace {\oint \limits _{\partial \Sigma }{\mathbf {v} }\times \mathbf {B} {\text{d}}\ell } _{{\text{motional}}\ {\text{emf}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\Sigma }{\mathbf {B} }{\text{d}}\mathbf {A} ,$

що ? ? законом Фарадея. Таким чином, закон Фарадея ? р?вняння Фарадея-Максвелла ф?зично екв?валентн?.

Мал.7 показу? ?нтерпретац?ю вкладу магн?тно? сили в ЕРС у л?в?й частин? р?вняння. Площа, що зам?та?ться сегментом d ? криво? ?Σ за час dt при рус? з? швидк?стю v, дор?вню?:

$d\mathbf {A} =-d{\boldsymbol {\ell \times v}}dt\,$

так що зм?на магн?тного потоку ΔΦ _B через частину поверхн?, обмежено? ?Σ за час dt, одна:

${\frac {d\Delta \Phi _{B}}{dt}}=-\mathbf {B} \cdot \ d{\boldsymbol {\ell \times v}}\ =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \ d{\boldsymbol {\ell }}\,$

? якщо скласти ц? ΔΦ _B -вклади навколо петл? для вс?х сегмент?в d ?, ми отрима?мо сумарний вклад магн?тно? сили в закон Фарадея. Тобто цей терм?н пов'язаний з руховою ЕРС.

Приклад 3: точка зору рухомого спостер?гача

Повертаючись до прикладу на рис. 3, в рухом?й систем? в?дл?ку виявля?ться т?сний зв'язок м?ж E- ? B-полями, а також м?ж рухово? ? ?ндуковано? ЕРС. [19] Уяв?ть соб? спостер?гача, що руха?ться разом з петлею. Спостер?гач обчислю? ЕРС в петл? з використанням як закону Лоренца, так ? з використанням закону електромагн?тно? ?ндукц?? Фарадея. Оск?льки цей спостер?гач руха?ться з петлею, в?н не бачить н?якого руху петл?, тобто нульову величину v × B. Однак, оск?льки поле B зм?ню?ться в точц? x, який руха?ться спостер?гач бачить зм?ню?ться в час? магн?тного поля, а саме:

$\mathbf {B} =\mathbf {k} {B}(x+vt)\ ,$

де k  — одиничний вектор у напрямку z.

Закон Лоренца

Р?вняння Фарадея-Максвелла говорить, що руха?ться спостер?гач бачить електричне поле E _y у напрямку ос? y , що визнача?ться за формулою:

$\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {k} \ {\frac {dE_{y}}{dx}}$

$=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {k} {\frac {dB(x+vt)}{dt}}=-\mathbf {k} {\frac {dB}{dx}}v\ \,$

Застосовуючи правило диференц?ювання складено? функц??:

${\frac {dB}{dt}}={\frac {dB}{d(x+vt)}}{\frac {d(x+vt)}{dt}}={\frac {dB}{dx}}v.$

Р?шення для E _y з точн?стю до пост?йно?, яка н?чого не дода? в ?нтеграл по петл?:

$E_{y}(x,\ t)=-B(x+vt)\ v.$

Використовуючи закон Лоренца, в якому ? т?льки компонента електричного поля, спостер?гач може обчислити ЕРС по петл? за час t по формул?:

${\mathcal {E}}=-\ell [E_{y}(x_{C}+w/2,\ t)-E_{y}(x_{C}-w/2,\ t)]$

$=v\ell [B(x_{C}+w/2+vt)-B(x_{C}-w/2+vt)],$

? ми бачимо, що точно такий же результат знайдений для нерухомого спостер?гача, який бачить, що центр мас x _C зрушився на величину x _C + v t . Однак, руха?ться спостер?гач отримав результат п?д враженням, що в закон? Лоренца д?яла т?льки електрична складова, тод? як нерухомий спостер?гач думав, що д?яла т?льки магн?тна складова.

Закон ?ндукц?? Фарадея

Для застосування закону ?ндукц?? Фарадея розглянемо спостер?гача, що руха?ться разом з точкою x _C . В?н бачить зм?ну магн?тного потоку, але петля йому зда?ться нерухомою: центр петл? x _C ф?ксований, тому що спостер?гач руха?ться разом з петлею. Тод? пот?к:

$\Phi _{B}=-\int _{0}^{\ell }dy\int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}B(x+vt)dx\ ,$

де знак м?нуса виника? через те, що нормаль до поверхн? ма? напрям, протилежний прикладеному полю B . ?з закону ?ндукц?? Фарадея ЕРС дор?вню?:

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=\int _{0}^{\ell }dy\int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}{\frac {d}{dt}}B(x+vt)dx$

$=\int _{0}^{\ell }dy\int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}{\frac {d}{dx}}B(x+vt)\ v\ dx$

$=v\ell \ [B(x_{C}+w/2+vt)-B(x_{C}-w/2+vt)]\ ,$

? ми бачимо той же результат. Пох?дна за часом використову?ться при ?нтегруванн?, оск?льки меж? ?нтегрування не залежать в?д часу. Знову ж таки, для перетворення пох?дно? за часом в пох?дну по x використовуються методи диференц?ювання складно? функц??.

Нерухомий спостер?гач бачить ЕРС як рухову, тод? як руха?ться спостер?гач дума?, що це ?ндукована ЕРС.

Електричний генератор

Мал. 8. Електричний генератор на основ? диска Фарадея. Диск оберта?ться з кутовою швидк?стю ω, при цьому пров?дник, розташований уздовж рад?уса, руха?ться в статичному магн?тному пол? B. Магн?тна сила Лоренца v × B створю? струм вздовж пров?дника за напрямом до обода, пот?м ланцюг замика?ться через нижню щ?тку ? в?сь п?дтримки диска. Таким чином, внасл?док механ?чного руху генеру?ться струм.

Явище виникнення ЕРС, породжено? за законом ?ндукц?? Фарадея в насл?дку в?дносного руху контуру ? магн?тного поля, лежить в основ? роботи електричних генератор?в. Якщо пост?йний магн?т перем?ща?ться щодо пров?дника або навпаки, пров?дник перем?ща?ться щодо магн?ту, то виника? електроруш?йна сила. Якщо пров?дник п?дключений до електричного навантаження, то через нього буде текти струм, ? отже, механ?чна енерг?я руху перетворюватиметься на електричну енерг?ю. Наприклад, дисковий генератор побудований за тим же принципом, як зображено на рис. 4. ?ншою реал?зац??ю ц??? ?де? ? диск Фарадея, показаний в спрощеному вигляд? на рис. 8. Зверн?ть увагу, що ? анал?з рис. 5, ? пряме застосування закону сили Лоренца показують, що твердий пров?дний диск працю? однаковим чином.

У приклад? диска Фарадея диск оберта?ться в однор?дному магн?тному пол?, перпендикулярному диску, в результат? чого виника? струм в рад?альному плеч? завдяки сил? Лоренца. Ц?каво зрозум?ти, як виходить, що щоб керувати цим струмом, необх?дна механ?чна робота. Коли генерований струм тече через пров?дний об?д, по закону Ампера цей струм створю? магн?тне поле (на рис. 8 вона п?дписана ??ндуковане B? — Induced B). Об?д, таким чином, ста? електромагн?том, який чинить оп?р обертанню диска (приклад правила Ленца). В дальн?й частин? малюнка зворотний струм тече в?д обертового плеча через дальню сторону обода до нижньо? щ?тки. Поле В, створюване цим зворотним струмом, протилежно прикладеному полю, викликаючи скорочення потоку через дальню сторону ланцюга, на противагу зб?льшенню потоку, викликаного обертанням. На ближн?й сторон? малюнка зворотний струм тече в?д обертового плеча через ближню сторону обода до нижньо? щ?тки. ?ндуковане поле B зб?льшу? пот?к по цю сторону ланцюга, на противагу зниженню потоку, викликаного обертанням. Таким чином, обидв? сторони ланцюга генерують ЕРС, що перешкоджа? обертанню. Енерг?я, необх?дна для п?дтримки руху диска на противагу ц?й реактивн?й сил?, в точност? дор?вню? вироблюван?й електричн?й енерг?? (плюс енерг?я на компенсац?ю втрат через тертя, через вид?лення тепла Джоуля та ?нше). Така повед?нка ? загальним для вс?х генератор?в перетворення механ?чно? енерг?? в електричну.

Хоча закон Фарадея опису? роботу будь-яких електричних генератор?в, детальний механ?зм в р?зних випадках може в?др?знятися. Коли магн?т оберта?ться навколо нерухомого пров?дника, м?нливе магн?тне поле створю? електричне поле, як описано в р?внянн? Максвелла-Фарадея, ? це електричне поле штовха? заряди через пров?дник. Цей випадок назива?ться ?ндукованою ЕРС. З ?ншого боку, коли магн?т нерухомий, а пров?дник оберта?ться, на рухом? заряди вплива? магн?тна сила (як опису?ться законом Лоренца), ? ця магн?тна сила штовха? заряди через пров?дник. Цей випадок назива?ться руховою ЕРС.

Електродвигун

Електричний генератор може працювати в ?зворотному напрямку? ? ставати двигуном. Розглянемо, наприклад, диск Фарадея. Припустимо, пост?йний струм тече через яке проводить рад?альне плече в?д будь-якого напруження. Тод? за законом сили Лоренца на цей рухомий заряд вплива? сила в магн?тному пол? B, яка буде обертати диск у напрямку, певним правилом л?во? руки. За в?дсутност? ефект?в, що викликають дисипативн? втрати, таких як тертя або тепло Джоуля, диск буде обертатися з такою швидк?стю, щоб d ΦB/dt дор?внювало напруз?, що породжу? струм.

Електричний трансформатор

ЕРС, передв?щена законом Фарадея, ? також причиною роботи електричних трансформатор?в. Коли електричний струм в дротян?й петл? зм?ню?ться, м?нливий струм створю? зм?нне магн?тне поле. Другий пров?д в доступному для нього магн?тному пол? буде в?дчувати ц? зм?ни магн?тного поля як зм?ни пов'язаного з ним магн?тного потоку d ΦB / d t. Електроруш?йна сила, що виника? в друг?й петл?, назива?ться ?ндуковано? ЕРС або ЕРС трансформатора. Якщо два к?нця ц??? петл? зв'язати через електричну навантаження, то через не? потече струм.

Електромагн?тн? витратом?ри

Закон Фарадея використову?ться для вим?рювання витрати електропров?дних р?дин ? суспенз?й. Так? прилади називаються магн?тними витратом?рам. Наведене напруга ?, що генеру?ться в магн?тному пол? B за рахунок пров?дно? р?дини, що руха?ться з? швидк?стю v , визнача?ться за формулою:

${\mathcal {E}}=B\ell v,$

де ? — в?дстань м?ж електродами в магн?тному витратом?р?.

Паразитна ?ндукц?я ? теплов? втрати

У будь-якому металевому об'?кт?, рухомому по в?дношенню до статичного магн?тному полю, виникатимуть ?ндукц?йн? струми, як ? в будь-якому нерухомому металевому предмет? по в?дношенню до рухомого магн?тному полю. Ц? енергетичн? потоки найчаст?ше небажан?, через них в шар? металу тече електричний струм, який нагр?ва? метал.

? ряд метод?в, використовуваних для боротьби з цими небажаними ?ндуктивними ефектами.

• Електромагн?ти в електричних двигунах, генераторах ? трансформаторах не роблять ?з суц?льного металу, а використовують тонк? листи жерст?, зван? ?лам?натами?. Ц? тонк? пластини зменшують паразитн? вихров? струми, як буде описано нижче.
• Котушки ?ндуктивност? в електрон?ц? зазвичай використовують магн?тн? сердечники, щоб м?н?м?зувати паразитний струм. ?х роблять з сум?ш? металевого порошку з? сполучною наповнювачем, ? вони мають р?зну форму. Сполучний матер?ал запоб?га? проходженню паразитних струм?в через порошковий метал.

Розшарування електромагн?та

Вихров? струми виникають, коли суц?льна маса металу оберта?ться в магн?тному пол?, так як зовн?шня частина металу перетина? б?льше силових л?н?й, н?ж внутр?шня, отже, ?ндукц?йна електроруш?йна сила нер?вном?рна ? прагне створити струми м?ж точками з найб?льшим ? найменшим потенц?алами. Вихров? струми споживають значну к?льк?сть енерг??, ? часто призводять до шк?дливого п?двищення температури.

На цьому приклад? показан? всього п'ять ламинат?в або пластин для демонстрац?? розщеплення вихрових струм?в. На практиц? число пластин або перфорац?й склада? в?д 40 до 66 на дюйм, що призводить до зниження втрат на вихрових токах приблизно до одного в?дсотка. Хоча пластини можуть бути в?докремлен? одна в?д одно? ?золяц??ю, але оск?льки виникаюч? напруги надзвичайно низьк?, то природно? ?рж? або оксидного покриття пластин достатньо для того, щоб запоб?гти струм через пластини.

Це ротор в?д двигуна пост?йного струму д?аметром приблизно 20 мм, використовуваного в програвачах компакт-диск?в. Зверн?ть увагу, для зниження паразитних ?ндуктивних втрат зроблено розшарування полюса електромагн?та на частини.

Паразитн? втрати в котушках ?ндуктивност?

На ц?й ?люстрац?? суц?льний м?дний стрижень котушки ?ндуктивност? в обертовому якор? просто проходить п?д к?нчиком полюса N магн?ту. Зверн?ть увагу на нер?вном?рний розпод?л силових л?н?й через стрижень. Магн?тне поле ма? велику концентрац?ю ?, отже, сильн?ше на л?вому краю м?дного стержня (a, b), тод? як слабше по правому краю (c, d). Оск?льки два краю стержня рухатимуться з однаковою швидк?стю, це розходження в напруженост? поля через стрижень створить вихори струму всередин? м?дного стержня.

Це одна з причин, по як?й пристро? з високою напругою, як правило, б?льш ефективн?, н?ж низьковольтн? пристро?. Високовольтн? пристро? мають безл?ч невеликих витк?в дроту в двигунах, генераторах ? трансформаторах. Ц? численн? невелик? витки проводу в електромагн?т? розбивають вихров? потоки, а в межах великих, товстих котушок ?ндуктивност? низько? напруги утворю?ться вихров? струми б?льшо? величини.

Див. також

Майкл Фарадей Магн?тне поле Магн?тний пот?к Теорема про циркуляц?ю магн?тного поля Правило Ленца Сила Лоренца

Теорема Стокса Векторний анал?з ?ндуктивн?сть Електричний ?мпеданс Ун?полярний генератор Генератор зм?нного струму

Посилання

• A simple interactive Java tutorial on electromagnetic induction
• R. Vega Induction: Faraday's law and Lenz's law — Highly animated lecture
• Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University [Арх?вовано 27 вересня 2017 у Wayback Machine.]
• Faraday's Law for EMC Engineers
• James Clerk (1881), A treatise on electricity and magnetism, Vol.II, Chapter III, § 530, p. 178. Oxford, UK: Clarendon Press.ISBN 0-486-60637-6.
• Tankersley and Mosca: Introducing Faraday's law.