数千八路军巧妙跳出日军包围 德国记者赞神奇

Р?вняння Максвелла
Названо на честь	Джеймс Клерк Максвелл
Дата публ?кац??	1861
Формула	${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}$ ? ${\begin{aligned}\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}&=0,\\\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }&=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}$
Позначення у формул?	$E$, $\rho$, $J$, $B$, $\mu _{0}$, $\epsilon _{0}$ ? $t$
П?дтриму?ться В?к?про?ктом	В?к?пед?я:Про?кт:Математика
? об'?днанням	див. список:d
Р?вняння Максвелла у В?к?сховищ?

Р?вня?ння Ма?ксвелла — це основн? р?вняння класично? електродинам?ки, як? описують електричне та магн?тне поле, створене зарядами й струмами.

Р?вняння електродинам?ки в диференц?альн?й форм?

Форма запису р?внянь Максвелла залежить в?д системи одиниць. Здеб?льшого ф?зики користуються формою запису в систем? СГСГ. У М?жнародн?й систем? величин (ISQ), на баз? яко? побудована М?жнародна система одиниць (SI), вибрана форма запису, в як?й не ф?гурують множник $4\pi$ та швидк?сть св?тла с. ?дея полягала в тому, щоб записати р?вняння Максвелла як найфундаментальн?ш? р?вняння в найпрост?ш?й форм?. Однак це призвело до появи зайвих множник?в в ?нших основних р?вняннях, наприклад, закон? Кулона. Кр?м того напруженост? електричних та магн?тного пол?в отримали р?зн? розм?рност?, що з точки зору ф?зики ? великим недол?ком. Оск?льки р?вняння Максвелла описують розповсюдження електромагн?тних хвиль, то бажано також, щоб ?хня швидк?сть (швидк?сть св?тла) входила в р?вняння.

СГСГ

У вакуум?

У диференц?йн?й форм? р?вняння Максвелла для вакууму мають такий вигляд

${\text{rot}}\,\mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}$,

${\text{rot}}\,\mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$,

${\text{div}}\,\mathbf {B} =0$

${\text{div}}\,\mathbf {E} =4\pi \rho$.

Р?вняння записан? в систем? СГС. Тут $\mathbf {E}$ — напружен?сть електричного поля, $\mathbf {B}$ — вектор магн?тно? ?ндукц??, $\rho$ — густина електричного заряду, $\mathbf {j}$ — густина електричного струму, $c$ — швидк?сть св?тла.

У середовищ?

У речовин? електричне та магн?тн? поля характеризуються додатковими векторами: електричною ?ндукц??ю та напружен?стю магн?тного поля, зв'язаних з, в?дпов?дно, напружен?стю електричного поля й магн?тною ?ндукц??ю сп?вв?дношення, як? називають матер?альними. У загальному вигляд? матер?альн? сп?вв?дношення мають складну нелокальну форму, тому при запису основних р?внянь електродинам?ки ?х не наводять. Р?вняння набирають вигляду

${\text{rot}}\,\mathbf {H} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} =J+{\dot {D}}$,

${\text{rot}}\,\mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\dot {B}},$,

${\text{div}}\,\mathbf {B} =0$

${\text{div}}\,\mathbf {D} =4\pi \rho _{f}$.

Тут $\rho _{f}$ — густина в?льних заряд?в. Внесок зв'язаних заряд?в врахову?ться при визначенн? вектора електрично? ?ндукц? $\mathbf {D}$.

М?жнародна система величин

У М?жнародн?й систем? величин (ISQ) нав?ть для вакууму вводяться дв? додатков? характеристики електромагн?тного поля: вектор електрично? ?ндукц?? та напружен?сть магн?тного поля. У вакуум? вони пов'язан? з напружен?стю електричного поля та магн?тною ?ндукц??ю за допомогою сталих множник?в

$\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$

${\textbf {H}}={\textbf {B}}/\mu _{0}-{\textbf {M}},$

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +{\textbf {P}}$,

де $\varepsilon _{0}$ — електрична стала, $\mu _{0}$ — магн?тна стала, ${\textbf {P}},{\textbf {M}}$ — поляризац?я та намагн?чен?сть (сумарн? дипольн? моменти $dV$), тому система диференц?йних р?внянь Максвелла ма? такий вигляд:

${\text{rot}}\,\mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {j}$,

${\text{rot}}\,\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$,

${\text{div}}\,\mathbf {B} =0$

${\text{div}}\,\mathbf {D} =\rho$.

У речовин? р?вняння збер?гають св?й вигляд, за винятком того, що матер?альн? сп?вв?дношення, тобто зв'язкок м?ж $\mathbf {D}$ та $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$ та $\mathbf {H}$ мають складн?шу форму, ? зам?сть густини ус?х електричних заряд?в $\rho$ враховуються т?льки в?льн? електричн? заряди.

Пояснення

Перше р?вняння Максвелла (закон Ампера) визнача? магн?тне поле, створене струмом ?з густиною $\mathbf {j}$ або ж наведене зм?нним електричним полем.

Друге р?вняння Максвелла (закон Фарадея) визнача? електричне поле, яке виника? при зм?н? напруженост? магн?тного поля.

Трет? р?вняння Максвелла (теорема Гауса) стверджу?, що не ?сну? монопольних магн?тних заряд?в.

Четверте р?вняння Максвелла (р?вняння Пуассона) стверджу?, що навколо електричних заряд?в ?сну? електричне поле. Це р?вняння аналог?чне закону Кулона.

?сторична дов?дка

Зг?дно з легендою, приступаючи до роботи над створенням загально? теор?? електромагн?тних явищ, Джеймс Клерк Максвелл вир?шив, що читатиме т?льки експериментальн? роботи. При виведенн? сво?х р?внянь в?н опирався на закон Кулона, який визначав силу вза?мод?? м?ж зарядами, закон Ампера, що визначав силу вза?мод?? м?ж струмами, закон електромагн?тно? ?ндукц?? Фарадея, в?дсутн?сть експериментальних даних, що вказували б на ?снування магн?тного монополя та математичний апарат, розвинутий при вивченн? явищ в област? механ?ки й г?дродинам?ки.

Електричне та магн?тн? поля Максвелл уявляв соб?, як механ?чн? збурення певного середовища — еф?ру. В 1820 роц? Ганс Кр?ст?ан Ерстед виявив, що проходячи через др?т гальван?чний струм, змушу? в?дхилятися магн?тну стр?лку компаса. Таке в?дкриття притягло широку уваги вчених того часу. В тому ж 1820 роц? Жан-Бат?ст Б?о та Фел?кс Савар експериментально знайшли вираз для магн?тно? ?ндукц??, яка виника? (закон Б?о — Савара — Лапласа), ? Андре-Мар? Ампер виявив, що вза?мозв'язок на в?дстан? з'явля?ться також м?ж двома дротами, через як? проходить струм. Ампер ув?в терм?н ?електродинам?чний? ? висунув г?потезу, що природний магнетизм пов'язаний з ?снуванням в магн?т? к?льцевих струм?в.

Вплив струму на магн?т, виявлений Ерстедом, призвело Майкла Фарадея до ?де? про те, що повинен ?снувати зворотний вплив магн?ту на струми. П?сля тривалих експеримент?в, в 1831 роц?, Фарадей в?дкрив, що магн?т, який перем?ща?ться б?ля пров?дника, породжу? в пров?днику електричний струм. Це явище було названо електромагн?тною ?ндукц??ю. Фарадей вв?в поняття ?поля сил? — деякого середовища, що знаходиться м?ж зарядами ? струмами. Його м?ркування мали як?сний характер, однак вони зробили величезний вплив на досл?дження Максвелла.

П?сля в?дкритт?в Фарадея стало ясно, що стар? модел? електромагнетизму (Ампер, Пуассон та ?нш?) неповн?. Незабаром з'явилася теор?я Вебера, заснована на далекод??. Проте в?дтод? вся ф?зика, кр?м теор?? тяж?ння, мала справу лише з близькод??ю (оптика, термодинам?ка, механ?ка суц?льних середовищ тощо). Гаус, Р?ман ? ряд ?нших вчених висловлювали припущення, що св?тло ма? електромагн?тну природу, так що теор?я електромагн?тних явищ теж повинна бути близькод??вою. Цей принцип став сутт?вою особлив?стю теор?? Максвелла.

Максвелл вперше опубл?кував сво? р?вняння в 1861 роц?. В 1864 побачила св?т ?нша його праця, в як?й р?внянь було в?с?м, оск?льки вони включали ?нш? закони, як? зараз не заведено включати в число р?внянь Максвелла. В 1884 Гев?сайд за допомоги Г?ббса вибрали першу систему 4-х р?внянь ? переписали ?? у векторн?й форм?, близьк?й до сучасно?.

Не?нвар?антн?сть в?дносно перетворень Гал?лея

Р?вняння Максвелла зм?нюють св?й вигляд при переход? в?д одно? ?нерц?йно? системи координат до ?ншо?, якщо правила цього переходу задавати класичними перетвореннями Гал?лея. Ця обставина мало хвилювала Максвелла й ?нших вчених XIX стор?ччя, оск?льки вважалося, що р?вняння справедлив? лише в одн?й систем? координат — т?й, що зв'язана з непорушним еф?ром.

У 1887 роц? Лармор знайшов перетворення, при яких р?вняння Максвелла не зм?нюють вигляду при переход? в?д одно? не?нерц?йно? системи координат до ?ншо?. Ц? перетворення були назван? перетвореннями Лоренца (Лоренц отримав ?х у наближеному вигляд? трошки ран?ше). Саме ц? перетворення Ейнштейн поклав в основу спец?ально? теор?? в?дносност?, яка в?дмовилася в?д ?де? про ?снування еф?ру. П?сля цього р?вняння Максвелла набули статусу ун?версального закону природи, справедливого в будь-як?й систем? координат. Проте ?хня ?нтерпретац?я докор?нно в?др?зня?ться в?д ?дей, на основ? яких Максвелл ?х вив?в.

Таблиця р?внянь у ISQ

У ISQ р?вняння електродинам?ки мають наступний вигляд:

Lp.	Диференц?альне р?вняння	?нтегральне р?вняння	Назва	Явище, котре опису? р?вняння
1.	$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}$	$\oint \limits _{L}{\vec {E}}\cdot {\mbox{d}}{\vec {l}}=-{\frac {{\mbox{d}}\Phi _{B}}{{\mbox{d}}t}}$	закон Фарадея	Зм?нне у час? магн?тне поле виклика? вихрове електричне поле.
2.	$\nabla \times {\vec {H}}={\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial {t}}}$	$\oint \limits _{L}{\vec {H}}\cdot {\mbox{d}}{\vec {l}}=I+{\frac {{\mbox{d}}\Phi _{D}}{{\mbox{d}}t}}$	Закон Ампера, розширений Максвеллом	Електричний струм ? зм?нне електричне поле створюють магн?тне поле.
3.	$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho$	$\oint \limits _{S}{\vec {D}}\cdot {\mbox{d}}{\vec {s}}=\int \limits _{V}\rho \cdot {\mbox{d}}V$	закон Гауса для електрики	Джерело електричного поля — заряди
4.	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$	$\oint \limits _{S}{\vec {B}}\cdot {\mbox{d}}{\vec {s}}=0$	Закон Гауса для магн?тного поля	Не ?сну? заряду магн?тного поля, силов? л?н?? магн?тного поля замкнен?.

де:

• D — електрична ?ндукц?я [ Кл / м2]
• B — магн?тна ?ндукц?я [ T ]
• E — напружен?сть електричного поля [ В / м ]
• H — напружен?сть магн?тного поля [ A / м ]
• Φ_D — пот?к електрично? ?ндукц?? [ Кл = A·с]
• Φ_B — магн?тний пот?к [ Вб ]
• j — густина струму [А/м2]
• ρ — густина заряду [ Кл / м³]

• $\nabla \cdot$ — оператор дивергенц?? [1/м],
• $\nabla \times$ — оператор ротора [1/м].

Отримання р?внянь Максвелла у вакуум? ?з використанням СТВ, принципу суперпозиц?? та закону Кулона

?з отримання виразу для сили Лоренца, напружен?стю електричного поля заряду, що руха?ться, ? вираз

$\ \mathbf {E} ={\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{\left(\mathbf {r} ^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\qquad (.1)$,

а ?ндукц??ю магн?тного поля —

$\ \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$.

Якщо у $\ (.1)$ п?дставити $\ \mathbf {r} =0$, то значення в?дпов?дно напруженост? та ?ндукц?? буде неск?нченно великим. Для уникнення цього можна штучно ввести константу $\ a^{2}$ як доданок у знаменник $\ (.1)$ (регуляризац?я). Тод? модиф?кований вираз набуде вигляду

$\ \mathbf {E} ={\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{\left(\mathbf {r} ^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\qquad (.2)$.

Для того, щоб показати, у як?й м?р? точки простору ? джерелами та стоками електричного та магн?тного пол?в, треба взяти дивергенц?ю в?д напруженост? електричного поля та в?д ?ндукц?? магн?тного поля. З урахуванням попередн?х перетворень,

Попередн? перетворення.

$\ \nabla \mathbf {r} =div(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )={\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial z}}=3$.

$\ grad(r)={\frac {\partial r}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial r}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial r}{\partial z}}\mathbf {k} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}$.

$\ \nabla (\varphi \mathbf {r} )={\frac {\partial (\varphi r_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi r_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\varphi r_{z})}{\partial z}}=\varphi {\frac {\partial r_{x}}{\partial x}}+\varphi {\frac {\partial r_{y}}{\partial y}}+\varphi {\frac {\partial r_{z}}{\partial z}}+r_{x}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+r_{y}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+r_{z}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=\varphi \nabla (\mathbf {r} )+(\mathbf {r} \cdot grad(\varphi ))$.

$\ grad((\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2})=2grad((\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} ))(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )=2grad(r_{x}u_{x}+r_{y}u_{y}+r_{z}u_{z})(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )=2(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )=2\mathbf {u} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )$.

,

з виразу $\ (.2)$ можна отримати:

$\ \nabla \mathbf {E} =4\pi Q\delta _{a}(\mathbf {r} )$,

виведення.

$\ \nabla \mathbf {E} =\nabla {\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {3Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {3}{2}}{\frac {kQ\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}2r+2\gamma ^{2}\mathbf {u} {\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}\right)=$

$\ ={\frac {3Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {3kQ\gamma (r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}})}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}={\frac {3Q\gamma a^{2}}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}={\frac {4\pi 3Q\gamma a^{2}}{4\pi (r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}$.

,

де

$\ \delta _{a}(\mathbf {r} )={\frac {3\gamma a^{2}}{4\pi (r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}$

- тривим?рна дельта-функц?я Д?рака, яка дозволя? записати просторову густину заряду, зосередженого в одн?й точц?. З не? видно, що $\ \nabla \mathbf {E} =0$ у кожн?й точц?, кр?м як при $\ r=0,a->0$, у як?й $\ \nabla \mathbf {E} =\infty$. Зв?дси можна стверджувати, базуючись на визначенн? дивергенц??, що електричний заряд — точка (у даному випадку), яка ? джерелом електрично? ?ндукц??.

Перейшовши до неперервного розпод?лення заряд?в у об'?м? та використавши акс?ому принципа суперпозиц?? пол?в, суму тривим?рних дельта-функц?й Д?рака можна зам?нити об'?мною густиною:

$\ \nabla \mathbf {E} =4\pi \rho ,\quad \mathbf {\rho } =\sum _{i}Q_{i}\delta _{\alpha }(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\qquad (.3)$.

Р?вняння $\ (.3)$ ? першим р?внянням Максвелла. ?з нього можна отримати багато ф?зичних насл?дк?в. Один з цих насл?дк?в поляга? у тому, що силов? л?н?? поля починаються на додатному заряд? ? можуть замикатися лише на в?д'?мному, оск?льки для додатного заряду $\ \nabla \mathbf {E}$ в?дпов?да? витоку поля, а для в?д'?много — його стоку.

Аналог?чно можна отримати величину дивергенц?? магн?тно? ?ндукц??.

Для цього треба урахувати наступн? попередн? виведення.

Попередн? перетворення.

$[\nabla \times \varphi \mathbf {a} ]=\varphi [\nabla \times \mathbf {a} ]+[\mathbf {a} \times grad(\varphi )]$.

$[\nabla \times \mathbf {r} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {\mathbf {i} } &\mathbf {\mathbf {j} } &\mathbf {\mathbf {k} } \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\r_{x}&r_{y}&r_{z}\end{vmatrix}}={\frac {\partial z}{\partial y}}\mathbf {i} +{\frac {\partial x}{\partial z}}\mathbf {j} +{\frac {\partial y}{\partial x}}\mathbf {k} -{\frac {\partial x}{\partial y}}\mathbf {k} -{\frac {\partial y}{\partial z}}\mathbf {j} -{\frac {\partial z}{\partial x}}\mathbf {i} =0$.

Тод?, користуючись тим, що, одразу, $\ \nabla \mathbf {u} =0$, можна отримати, що

$\ \nabla \mathbf {B} =0\qquad (.4)$.

Виведення.

$\ \nabla \mathbf {B} =(\nabla \cdot {\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ])=-{\frac {1}{c}}(\mathbf {u} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ])=-{\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot [\nabla \times \mathbf {r} ]{\frac {Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)-{\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot \left[\mathbf {r} \times grad\left({\frac {kQ\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)\right]\right)=$

$\ =|[\nabla \times \mathbf {r} ]=0|={\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot \left[\mathbf {r} \times {\frac {3}{2}}{\frac {Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}2r+2\gamma ^{2}\mathbf {u} {\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}\right)\right]\right)=$

$\ ={\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot \left[\mathbf {r} \times {\frac {3\mathbf {r} Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\right]\right)+{\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot \left[\mathbf {r} \times {\frac {3\mathbf {u} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )Q\gamma ^{3}}{c^{2}(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\right]\right)={\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot {\frac {3[\mathbf {r} \times \mathbf {u} ](\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )Q\gamma ^{3}}{c^{2}(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\right)=$

$\ =-{\frac {1}{c}}(\mathbf {r} \cdot [\mathbf {u} \times \mathbf {u} ]){\frac {3(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )Q\gamma ^{3}}{c^{2}(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}=0$.

Зв?дси очевидно, виходячи з поняття дивергенц??, що жодна з точок простору у пол? заряду, що руха?ться, включаючи точку положення самого заряду, не ? джерелом магн?тного поля.

Р?вняння $\ (4)$ ? другим р?внянням Максвелла.

Тепер, для визначеност? закрученост? поля в точках, можна взяти ротор в?д $\ \mathbf {E} ,\mathbf {B}$.

З урахуванням же того, що швидк?сть руху ?СВ пост?йна, можна записати явний вираз для ротора магн?тного поля:

$\ [\nabla \times \mathbf {B} ]=[\nabla \times {\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]]={\frac {1}{c}}\mathbf {u} (\mathbf {E} \cdot \nabla )-{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {u} \cdot \nabla )\qquad (.5)$.

Доведення.

$\ [\nabla \times \mathbf {B} ]={\frac {1}{c}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial x}}\\u_{y}E_{z}-u_{z}B_{y}&u_{z}E_{x}-u_{x}B_{z}&u_{x}E_{y}-u_{y}E_{x}\end{vmatrix}}={\frac {1}{c}}[u_{x}(E'_{y}+E'_{z})\mathbf {i} +u_{y}(E'_{x}+E'_{z})\mathbf {j} +u_{z}(E'_{x}+E'_{y})\mathbf {k} ]=$

$\ ={\frac {1}{c}}[u_{x}(E'_{y}+E'_{y}+E'_{z})\mathbf {i} +u_{y}(E'_{y}+E'_{y}+E'_{z})\mathbf {j} +u_{z}(E'_{y}+E'_{y}+E'_{z})\mathbf {k} ]-{\frac {1}{c}}[E'_{x}u_{x}\mathbf {i} +E'_{y}u_{y}\mathbf {j} +E'_{z}u_{z}\mathbf {k} ]={\frac {1}{c}}\mathbf {u} (\mathbf {E} \cdot \nabla )-{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {u} \cdot \nabla )$.

Цей вираз можна видозм?нити за допомогою наступних м?ркувань.

При анал?з? руху ?СВ в?дносно заряду треба виразити рад?ус-вектор $\ \mathbf {r}$ у явному вигляд?:

$\ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}-\mathbf {u} t\Rightarrow \mathbf {E} ={\frac {kQ\gamma (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {u} t)}{((\mathbf {r} _{0}-\mathbf {u} t)^{2}+\gamma ^{2}{\frac {((\mathbf {r} _{0}-\mathbf {u} t)\cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}$.

Тод? частинна пох?дна по часу напруженост? електричного поля буде р?вна

$\ {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial (r_{0_{i}}-u_{i}t)}}{\frac {\partial (r_{0_{i}}-u_{i}t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial r_{i}}}u_{i}=-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {E} \qquad (.6)$.

П?дставивши $\ (.6)$ у $\ (.5)$, можна отримати:

$\ [\nabla \times \mathbf {B} ]={\frac {1}{c}}\mathbf {u} (\mathbf {E} \cdot \nabla )-{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {u} \cdot \nabla )={\frac {1}{c}}4\pi Q\delta _{a}(\mathbf {r} )\mathbf {u} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {1}{c}}4\pi \mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\qquad (.7)$,

де $\ \mathbf {j} =\sum _{i}Q_{i}\delta _{a}(\mathbf {r} _{i})\mathbf {u}$ — густина струму.

Р?вняння $\ (.7)$ ? трет?м р?внянням Максвелла. З нього видно, що при електричний струм або зм?на його у час? породжують вихрове магн?тне поле.

Ротор же в?д напруженост? електричного поля буде р?вен

$\ [\nabla \times \mathbf {E} ]=[\nabla \times {\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}]=[\nabla \times \mathbf {r} ]{\frac {Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}-3Q\gamma {\frac {\left[\left(\mathbf {r} +{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\right)\times \mathbf {r} \right]}{\left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}=-{\frac {3[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ](\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )Q\gamma ^{3}}{c^{2}(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\qquad (.8)$.

Вираз $\ (.8)$, аналог?чно до $\ (6)$, можна перетворити. Тод?

$\ [\nabla \times \mathbf {E} ]=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad (.9)$.

Доведення.

Аналог?чно до пох?дно? по часу напруженост? $\ \mathbf {E}$, можна обчислити пох?дну в?д ?ндукц?? магн?тного поля $\ \mathbf {B}$:

$\ {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial (r_{0_{i}}-u_{i}t)}}{\frac {\partial (r_{0_{i}}-u_{i}t)}{\partial t}}=-(\mathbf {u} \nabla )\mathbf {B} =-{\frac {Q\gamma }{c}}(\mathbf {u} \nabla )\left({\frac {[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]}{\left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)$.

Оск?льки $\ (\mathbf {u} \nabla )[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]=[\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \nabla )\mathbf {r} ]=[\mathbf {u} \times \mathbf {u} ]=0$, то векторний добуток можна винести за знак оператора пох?дно?. Тод?

$\ =-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]{\frac {Q\gamma (\mathbf {u} \nabla )}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {3Q\gamma (1+\gamma ^{2}u^{2})[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ](\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {3Q\gamma ^{3}[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ](\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}=-c[\nabla \times \mathbf {E} ]\Rightarrow$

$\ \Rightarrow [\nabla \times \mathbf {E} ]=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$.

Р?вняння $\ (.9)$ ? четвертим р?внянням Максвелла. З нього видно, що ротор напруженост? електричного поля зм?ню?ться т?льки тод?, коли ? нестац?онарне магн?тне поле (?, в?дпов?дно, напружен?сть електричного поля не сферично-симетрична через релятив?стськ? ефекти — ? вид?лений напрям руху заряду). У випадку ?з зарядом, який поко?ться, поле сферично-симетричне, тому для нього ротор р?вен нулю.

На остачу залишилось написати про дв? акс?оми, кожна з яких ма? досить вагомий внесок у можлив?сть застосування отриманих р?внянь для електродинам?ки.

Перша акс?ома поляга? у постулюванн? векторно? природи електромагн?тного поля. Якщо б природа електромагн?тного поля була тензорною, то для його описання знадобилися б р?вняння на кшталт р?внянь ЗТВ. Наприклад, якщо формально застосувати ту ж методику, що продемонстрована у цьому розд?л?, до закону Всесв?тнього тяж?ння, то можна отримати р?вняння, схож? до р?внянь Максвелла, як ? вираз для сили, под?бний до виразу сили Лоренца. Проте ?х в?рн?сть не п?дтверджу?ться експериментально, хоч як?сно вони ? в?рно описують динам?ку т?л у грав?тац?йному пол? за умови справедливост? принципу суперпозиц??.

Друга ж акс?ома пов'язана з постулюванням незалежност? р?внянь Максвелла в?д прискорення заряду, що створю? поле. Тобто, вони справедлив? для будь-яких можливих випадк?в руху заряду.

Окр?м цього, варто написати про принцип суперпозиц??. В?н може бути застосований до тих п?р, поки поля, що створюються зарядами, не стануть наст?льки сильними, що будуть впливати на прост?р-час, унеможливлюючи представлення вектор?в-характеристик поля системи через л?н?йну комб?нац?ю вектор?в заряд?в ц??? системи.

Незалежн?сть р?внянь Максвелла

Користуючись р?внянням неперервност?, можна перев?рити систему р?внянь Максвелла на невироджен?сть. Взявши дивергенц?ю в?д роторного р?вняння для ?ндукц?? магн?тного поля без п?дстановки $\ \nabla \mathbf {E}$ ? виразивши з р?вняння неперервност? $\ \nabla \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$, можна отримати:

$\ {\frac {1}{c}}\nabla \mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \nabla \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \mathbf {E} -4\pi \rho \right)=0\Rightarrow \nabla \mathbf {E} =4\pi \rho +f(x,y,z)$.

Аналог?чно можна взяти дивергенц?ю в?д четвертого р?вняння Максвелла:

$\ (\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ])={\frac {\partial \nabla \mathbf {B} }{\partial t}}=0\Rightarrow \nabla \mathbf {B} =g(x,y,z)$.

Таким чином, ?з друго? пари р?внянь Максвелла можна отримати першу т?льки з точн?стю до функц?й в?д координат, як? не залежать в?д часу. Строго довести же, користуючись лише цими двома р?вняннями, що функц?? р?вн? нулю, неможливо. Тому у цьому сенс? р?вняння Максвелла (усього ?х в?с?м — дв? пари по три р?вняння (оск?льки роторн? р?вняння розпадаються на три компонентних р?вняння)) ? незалежними.

Див. також

• Сила Лоренца
• Перетворення Лоренца