网店商品傍上人民的名义热销 李达康水杯爆款

百度 毛岳群告诉钱江晚报记者，她不怕死，但怕走后没人照顾刘薇。

Однор?дн? координати — координати, що волод?ють властив?стю, за яко? об'?кт, що визнача?ться цими координатами, не зм?ню?ться при множенн? вс?х координат на одне ? те ж число, в?дм?нне в?д нуля. Однор?дн? координати мають таке ж значення для про?ктивно? геометр??, як декартов? координати для Евкл?дово? геометр??. Поняття однор?дних координат ув?в Август Фердинанд Меб?ус у 1827 роц? у робот? Der barycentrische Calcül.

За допомогою однор?дних координат нав?ть координати неск?нченно в?ддалених точок можна представити за допомогою ск?нченних координат. Формули, записан? в однор?дних координатах, найчаст?ше прост?ш? та б?льш симетричн?, н?ж ?хн? вирази в декартових координатах. Однор?дн? координати мають широкий спектр застосування, в тому числ? в комп'ютерн?й граф?ц? та в 3D комп'ютерному зор?, де вони дозволяють виконувати аф?нн? перетворення ?, загалом, про?ктивн? перетворення, через що ?х легко представити у вигляд? матриц?.

Однор?дн? координати не задають однозначно точку простору. Наприклад, (1, 1, 1, 1) ? (2, 2, 2, 2) задають одну ? ту ж точку (1, 1, 1). При переход? до однор?дних координат для точки з координатами (x, у, z) пропону?ться узяти наб?р (x, у, z, 1). В процес? перетворень четверта координата w може зм?нюватися.

Зворотний перех?д до декартових координат зд?йсню?ться за допомогою д?лення на w-координату.

Вступ

Д?йсну про?ктивну площину можна розглядати як евкл?дову площину, яка ма? додатков? точки, як? називаються точками на неск?нченност?, котр? вважають такими, що лежать на нов?й прям?й, прям?й на неск?нченност?. ?сну? точка на неск?нченност?, яка в?дпов?да? кожному напрямков? (який чисельно зада?ться нахилом прямо?), неформально визначена як границя точки, яка руха?ться в напрямку в?д початку. Стверджують, що паралельн? л?н?? на евкл?дов?й площин? перетинаються в точц? на неск?нченност?, яка в?дпов?да? ?хньому сп?льному напрямков?. Для точки (x, y) на Евкл?дов?й площин? ? будь-якого ненульового д?йсного числа Z тр?йка (xZ, yZ, Z) назива?ться множиною однор?дних координат точки. За цим визначенням, множення трьох однор?дних координат на одне ненульове значення да? новий наб?р однор?дних координат т??? само? точки. Зокрема (x, y, 1) ? множиною однор?дних координат для точки (x, y). Наприклад, точку декартово? системи (1, 2) можна задати в однор?дних координатах як (1, 2, 1) або (2, 4, 2). Початков? декартов? координати можна отримати шляхом д?лення перших двох значень на трет?. Таким чином, одну точку в декартових координатах можна задавати неск?нченною к?льк?стю однор?дних координат.

Р?вняння прямо?, що проходить через початок (0, 0), можна записати як nx + my = 0, де n ? m обидва не дор?внюють 0. В параметричн?й форм? це можна записати x = mt, y = ?nt. Нехай Z = 1/t, тод? координати точки на прям?й можуть бути записан? як (m/Z, ?n/Z). В однор?дних координатах це буде (m, ?n, Z). У граничному випадков?, коли t наближа?ться до неск?нченност?, тобто точка руха?ться в?д початку координат, Z наближа?ться до 0 ? однор?дн? координати точки будуть (m, ?n, 0). Таким чином, ми визнача?мо (m, ?n, 0) як однор?дн? координати точки на неск?нченност?, яка в?дпов?да? напрямков? прямо? nx + my = 0. Позаяк кожна пряма в Евкл?дов?й площин? паралельна прям?й, яка проходить через початок, ? паралельн? л?н?? мають одну точку на неск?нченност?, неск?нченна точка на кожн?й прям?й Евкл?дово? площини ма? дан? однор?дн? координати.

Як п?дсумок:

• Будь-яка точка на про?ктивн?й площин? зада?ться тр?йкою (X, Y, Z), що назива?ться однор?дними координатами або про?ктивними координатами точки, де X, Y ? Z вс? не дор?внюють 0.
• Точка, задана певним набором однор?дних координат, залишиться незм?нною, якщо ?? координати помножити на один ? той же коеф?ц??нт.
• ? навпаки, дв? множини однор?дних координат задають одну ? ту ж точку тод? ? т?льки тод?, коли одну з них можна отримати з ?ншо? шляхом множення на одну ненульову константу.
• Якщо Z не дор?вню? 0, точка в?дпов?да? точц? (X/Z, Y/Z) на Евкл?дов?й площин?.
• Якщо Z дор?вню? 0, точка в?дпов?да? точц? на неск?нченност?.

Зазначимо, що тр?йка координат (0, 0, 0) не представля? жодно? точки. Початок координат зада?ться як (0, 0, 1).

Позначення

Деяк? автори використовують ?нше позначення для однор?дних координат, яке дозволя? в?др?знити ?х в?д Декартових координат. Використову?ться двокрапка зам?сть коми, наприклад (x:y:z) зам?сть написання (x, y, z), що п?дкреслю? зм?ст того, що координати варто розглядати як сп?вв?дношення. Квадратн? дужки, як в [x, y, z], п?дкреслюють, що багато набор?в координат пов'язано з одн??ю точкою. Деяк? автори використовують по?днання двокрапок ? квадратних дужок: [x:y:z].

?нш? вим?ри

Можна провести аналог?ю для про?ктивних простор?в, що не ? площиною. Так, наприклад, точки на про?ктивн?й прям?й можуть задаватися як пари координат (x, y), обидв? не р?вн? нулев?. В такому випадку точка на неск?нченност? ? (1, 0). Аналог?чно точка у про?ктивному простор? n-вим?ру зада?ться набором (n + 1) координат.

Матриц? елементарних перетворень евкл?дового простору в однор?дних координатах

Нехай задано точку евкл?дового простору $\mathbb {E} ^{3}$ з координатами $(x,y,z)$. ?й ставиться у в?дпов?дн?сть точка з однор?дними координатами $(x,y,z,1)$, з якою виконуються потр?бн? перетворення. П?сля цього отриман? координати $(x',y',z',w')$ переводяться у декартов? координати $\left({\frac {x'}{w'}},{\frac {y'}{w'}},{\frac {z'}{w'}}\right)$.

Використання матричного запису дозволя? отримати економ?ю в к?лькост? зроблених операц?й. Позаяк добуток матриць асоц?ативний, то можна спочатку обчислити необх?дне перетворення як добуток матриць, ? т?льки пот?м застосувати його до координат точок.

Паралельне перенесення:	${\underline {T}}$	=	${\begin{pmatrix}1&0&0&t_{x}\\0&1&0&t_{y}\\0&0&1&t_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$	${\underline {T}}\cdot (x,y,z,1)^{T}=(x+t_{x},y+t_{y},z+t_{z},1)^{T}$
Обертання навколо ос? x:	${\underline {R_{x}}}$	=	${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\0&\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$
Обертання навколо ос? y:	${\underline {R_{y}}}$	=	${\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta &0\\0&1&0&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta &0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$
Обертання навколо ос? z:	${\underline {R_{z}}}$	=	${\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0&0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$
Масштабування:	${\underline {S}}$	=	${\begin{pmatrix}s_{x}&0&0&0\\0&s_{y}&0&0\\0&0&s_{z}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$	${\underline {S}}\cdot (x,y,z,1)^{T}=(s_{x}\cdot x,s_{y}\cdot y,s_{z}\cdot z,1)^{T}$
Перспективне перетворення:	${\underline {P}}$	=	${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&{\frac {1}{d}}&0\end{pmatrix}}$	${\underline {P}}\cdot (x,y,z,1)^{T}=(x,y,z,{\tfrac {z}{d}})^{T}$
Ортогональна про?кц?я:	${\underline {P_{\mathrm {orth} ,z=0}}}$	=	${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$	${\underline {P_{\mathrm {orth} ,z=0}}}\cdot (x,y,z,1)^{T}=(x,y,0,1)^{T}$

Посилання

• Homogeneous coordinates

Див. також

• Про?ктивний прост?р
• Про?ктивн? координати
• Барицентричн? координати
• Плюккеров? координати